Matematisk logikk

Matematikk Kommentarer er skrudd av for Matematisk logikk

Målet er å gjennomføre noen oppgaver i matematisk logikk.

Forklaring

\wedge   Dette kalles en konjunksjon. p\wedge v blir p og v.

p v p\wedge v
Usann Usann Usann
Sann Usann Usann
Usann Sann Usann
Sann Sann Sann

\vee Dette kalles en disjunksjon. p\vee v blir p eller v.

p v p\vee v
Usann Usann Usann
Sann Usann Sann
Usann Sann Sann
Sann Sann Sann

\implies Dette kalles en implikasjon. p\implies v blir hvis p så v.

p v p\implies v
Usann Usann Sann
Sann Usann Usann
Usann Sann Sann
Sann Sann Sann

\iff Dette kalles en ekvivalens. p\iff v blir hvis og bare hvis p så v.

p v p\iff v
Usann Usann Sann
Sann Usann Usann
Usann Sann Usann
Sann Sann Sann

\neg Dette kalles negasjon. \neg v blir ikke v.

p \neg p
Usann Sann
Sann Usann

Oppgave 1

Bevis at følgende regel alltid er sann.

(p\wedge(q\vee r)) \iff ((p\wedge q)\vee(p\wedge r))

p q r q\vee r p \wedge(q\vee r) p\wedge q p\wedge r (p\wedge q) \vee(p\wedge r) (p\wedge(q\vee r)) \iff ((p\wedge q)\vee(p\wedge r))
Usann Usann Usann Usann Usann Usann Usann Usann Sann
Sann Usann Usann Usann Usann Usann Usann Usann Sann
Usann Sann Usann Sann Usann Usann Usann Usann Sann
Sann Sann Usann Sann Sann Sann Usann Sann Sann
Usann Usann Sann Sann Usann Usann Usann Usann Sann
Sann Usann Sann Sann Sann Usann Sann Sann Sann
Usann Sann Sann Sann Usann Usann Usann Usann Sann
Sann Sann Sann Sann Sann Sann Sann Sann Sann

Oppgave 2

Hvis p er sann vet vi nok til å si noe om resultatet er sann eller usann når utsagnet er p\vee q

p\vee q \hspace{0.1cm} {\equiv} \hspace{0.1cm} \text{Sann} \vee q \hspace{0.1cm} {\equiv} \hspace{0.1cm} \text{Sann}

Oppgave 3

Hvis p er sann vet vi nok til å si noe om resultatet er sann eller usann når utsagnet er p\implies q Resultatet er ukjent.

p\implies q \hspace{0.1cm} {\equiv} \hspace{0.1cm} \text{Sann} \implies q \hspace{0.1cm} {\equiv} \hspace{0.1cm} \text{Sann}

Oppgave 4

Hvis p er sann vet vi nok til å si noe om resultatet er sann eller usann når utsagnet er r\implies (\neg q \implies (\neg p \implies \neg r))

r\implies (\neg q \implies (\neg p \implies \neg r))
r\implies (\neg q \implies (\text{Usann} \implies \neg r))
r\implies (\neg q \implies \text{Sann} )
r\implies \text{Sann}
\text{Sann}