Matematiske funksjoner

Matematikk Kommentarer er skrudd av for Matematiske funksjoner

Målet er å gå gjennom funksjoner, komposisjoner og inverse funksjoner.

Problem 1

Gitt følgende to funksjoner f(x) og g(x)

  • f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}\ for\ 2<x<4
  • g\left(x\right)=x-1\ for\ 0<x<3

Finn domenet og verdiområdet hvor h\left(x\right)\ =\ 2f\left(x\right)\ -3g\left(x\right) ?

Dette gir følgende funksjon

h\left(x\right)\ =\ 2f\left(x\right)\ -3g\left(x\right)=2\left(\frac{1}{x-2}\right)-3\left(x-1\right)=\frac{2}{x-2}-3x+3

Domenet blir 2<x<3

Verdiområdet blir da

  • h\left(2\right)\ =\ 2f\left(2\right)\ -3g\left(2\right)=\infty-1\ =\infty
  • h\left(3\right)\ =\ 2f\left(3\right)\ -3g\left(3\right)=2\cdot1-3\cdot2\ =-4

Så verdiområdet blir da -4<x<\infty

Problem 2

Gitt at

  • a\left(x\right)=5x
  • b(x)=x^4
  • c(x)=x+3
  • d\left(x\right)=\sqrt{x}

 

a) Finn f\left(x\right)=a\left[b\left[c\left[d\left(x\right)\right]\right]\right]

d(x)=\sqrt{x}

c[d(x)]=\sqrt{x}+3

b[c[d(x)]]=(\sqrt{x}+3)^4

a[b[c[d(x)]]]=5(\sqrt{x}+3)^4

 

b) Finn f\left(x\right)=a[a[d(x)]]

d(x)=\sqrt{x}

a[d(x)]=5\sqrt{x}

a[a[d(x)]]=25\sqrt{x}

 

c) Finn f\left(x\right)=b[c[b[c(x)]]]

c(x)=x+3

b[c(x)]=x^4+3

c[b[c(x)]]=(x+3)^4+3

b[c[b[c(x)]]]=((x+3)^4+3)^4

 

Problem 3

Gitt at f(x)=(5x-4)^3-4 dekomponer f  til sine komponent funksjoner og finn invers funksjonen. Er invers funksjonen en funksjon?

Deler inn i sine komponent funksjoner

a(x)=5x

b(x)=x-4

c(x)=x^3

Med b[c[b[a(x)]]]

Invers funksjonen blir da a^{-1}[b^{-1}[c^{-1}[b^{-1}(x)]]]

b^{-1}(x)=x+4

c^{-1}[b^{-1}(x)]=\frac{1}{\left(x+4\right)^3}

b^{-1}[c^{-1}[b^{-1}(x)]]=\frac{1}{\left(x+4\right)^3}+4

a^{-1}[b^{-1}[c^{-1}[b^{-1}(x)]]]=\frac{(x+4)^\frac{1}{3}}{5}+4

fm_m9_te9_e5
Siden hver X har en unik f(x) verdi så er den invers også en funksjon.