Faktorisering av andregrads likninger

Oppdaget at jeg hadde glemt reglene for å faktorisere polynomlikninger. Målet her er å lære dette igjen.

Problem 1

Likning : $6x^{2} - 13x + 6 = 0$

Sjekker at det finnes en lineær faktor.
$b^2-4ac\ =\ 13^2-4\cdot6\cdot6\ =\ 25\ =\ 5^2$ Det finnes en lineær faktor.

$|ac|=6\times6=36$ Dette gir faktorer 1*36, 2*18, 3*12, 4*9 og 6*6.

Siden summen av 4 og 9 gir 13 som er verdien av b, så bruker vi disse verdiene.

$6x^2-9x-4x+6 = 0$ Vi bruker så verdiene 9 og 4 og deler b i to deler.

$2x(3x-2)-3(3x-2) = 0$ Faktoriserer hver del.

$(3x-2)(2x-3) = 0$ Som gir oss følgende verdier.

$3x=2$ som gir $x=\frac{2}{3}$

$2x=3$ som gir $x=\frac{3}{2}$

$\left [ x=\frac{2}{3}, x=\frac{3}{2}\right ]$

Likning : $3x^2 + 4x - 1 = 0$

Sjekker om det finnes en lineær faktor.

$b^2-4ac\ =\ 4^2-4\cdot3\cdot\left(-1\right)\ =\ 28\$ Det finnes ingen lineær faktor.

Endrer a ved å dele begge sider på 3 slik at det står $x^2$ . Dette gir resultatet $x^2+\frac{4}{3}x\ -\frac{1}{3}\ =\ 0$

Flytter så c konstanten over på andre siden av likhetstegnet som gir $x^2+\frac{4}{3}x\ =\frac{1}{3}0$

Plusser så $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ på begge sider av likehetstegnet som gir $x^2+\frac{4}{3}x\ +\frac{4}{9}\ =\ \frac{1}{3}+\frac{4}{9}$

Dette kan endres til $(X+\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$

Dette resulterer i $X=\mp\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{2}{3}$

$\left [ - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \quad - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}\right]$

Likning : $x^2+3x-1 = 0$

Gir formelen $\frac{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\ \mp\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-1\right)}}{2\cdot1}=\frac{-3\ \mp\sqrt{13}}{2}$

$\left [ - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}\right ]$